[Forum SIS] Dividere una torta, sintesi delle risposte

Lun 13 Dic 2021 12:54:50 CET

Cari colleghi SIS,

sabato scorso ho posto il problema del taglio di torta meritocratico
che leggete in calce e ho ricevuto varie risposte da colleghi e amici
che ringrazio sentitamente.
Per chi è intessato, faccio una rassegna di risposte
e delle mie contro risposte.
Grazie di nuovo ai due Tommasi, Giacomo, Eugenio,
Davide e Marco, i vostri contributi sono stati molto
utili. E grazie a Gabriella, Brunero e Monica, che ho riletto con 
piacere, per la partecipazione e collaborazione!

cari saluti,
Mauro.

PS: la mia ricerca crowd ha funzionato, grazie quindi anche alla
lista SIS!

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RIGON: perché non considerare la funzione di ripartizione della
normale standard di ciascun dato, ovvero \Phi(z_1),…,\Phi(z_n) e
quindi dividere per la somma? In questo modo i rapporti tra quote
di torta sono interpretabili come rapporti di probabilità cumulate.
La cosa simpatica di questo approccio è che è facilmente estendibile
a campioni non gaussiani, avendo cura di utilizzare la funzione
di ripartizione empirica al posto di quella gaussiana.
ALETTI: proporzionali alla cumulativa?

Risposta a Rigon e Aletti: non mi convince il fatto che per meriti 
negativi userei una funzione di premio convessa e per meriti positivi 
concava.
C'é qualcosa che stona. Però usare i quantili e non \Phi stessa
potrebbe essere una buona idea (vedi ultima risposta a Dall'Aglio).

PROIETTI: sembri riferirti alla distribuzione di Dirichlet,
https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_distribution
che si otterrebbe riscalando z_i^2 per la somma.

Risposta a Proietti: non mi sembra la strada giusta;
qui z_i deve rappresentare il merito, cioé -2 e 2 sono opposti
(il primo scarso, il secondo bravo),
anche se hanno lo stesso quadrato

REGAZZINI: un bel lavoro in tema di suddivisione equa che ti suggerirei
di guardare, se già non lo conosci, è dovuto a Dubins e Spanier (cf 
allegato).

Risposta a Regazzini: grazie Eugenio, è sempre un piacere e un onore 
sentirti.
In effetti l'evoluzione del problema della divisione della torta
negli ultimi 60 anni è stato proprio lungo le linee descritte
in questo articolo; ci si è cioé concentrati sulla disomogeneità della
torta e sulle possibili differenze tra le preferenze degli agenti,
che lavorerebbero quindi con funzioni di utilità diverse.
Il mio problema è però diverso: ho dei dati pregressi che costituiscono
dei titoli di merito in base ai quali una torta OMOGENEA deve essere divisa.
Per farla breve, vi spoilero che la risposta che mi è tornata più utile
è quella di Marco Dall'Aglio, vedi sotto, che mi insegna che il mio problema
non è un problema di divisione equa della torta (quindi la mia indicazione
del cake cutting problem era sbagliata) ma un problema di
bancarotta!!!!!

SCALIA TOMBA: [...] nella domanda di Gasparini mi sembra che ci sia
un ulteriore livello, cioe' rispetto a una graduazione di merito 
({z(i)}), quale sia la ripartizione equa...

Risposta a SCALIA TOMBA: ciao Gianpi, d'accordo con quello che dici.

FIASCHI (tramite PRATESI, in privato): Se vuole limitare il minimo
prendi una distribuzione a supporto limitato e non una normale che
neppure per sbaglio può rappresentare il merito.

Risposta a Fiaschi: sì, in effetti sarebbe più logico usare una
variabile positiva, ma nel mio problema motivante la normale standard
scaturisce come modello per una combinazione lineare convessa di più
di una  variabili ETEROGENEE che rappresentano diverse dimensioni
del merito e che in qualche modo bisogna combinare (e il modo lineare
standardizzato - al massimo passando da una trasformazione logaritmica
in caso di non normalità - sembra il più corretto).

DALL'AGLIO (tramite LISEO, in privato): [..] invece del valore della 
variabile aleatoria,
mi occuperei del quantile raggiunto (in questo modo il problema
è anche più robusto rispetto alla distribuzione)
[...] più che taglio di torta, il problema è inquadrabile
come problema di bancarotta (vedi link)
(https://en.wikipedia.org/wiki/Bankruptcy_problem)

Risposta a Dall'Aglio: questo è esattamente il puntatore che
cercavo. In conclusione quindi mi correggo: il mio problema non è una
variante del cake cutting problem ma è convenzionalmente classificato
come problema di bancarotta in economia/sociologia matematica.
Ovviamente, sono nomi convenzionali che hanno delle ragioni storiche,
ma da solo non ci sarei arrivato.
Adesso vado a studiare e, caro Marco, ci risentiamo presto!

On 12/11/21 4:50 PM, Mauro Gasparini wrote:
> 
> Cari soci SIS,
> 
> Vorrei sottoporvi un problema elementare ma non ovvio.
> 
> Supponiamo di avere a disposizione un campione che rappresenti il merito;
> per comodità, supponiamo di poterlo modellizzare come un campione z1, …,
> zn da una normale standard.
> Come facciamo ad associare equamente a ciascun zi una porzione di torta ti
> tale che ti > 0  e la somma delle ti sia 1?
> 
> Nella logica del 6 sigma, potremmo per esempio trasformare zi  in  3+zi
> oppure min(z)+zi,
> poi dividerli per la loro somma. Conoscete soluzioni  più eleganti, e in
> particolare più robuste rispetto alla casualità del min?
> 
> Questo problema è una variante del cake-cutting problem in welfare
> economics ma non riesco a trovare i riferimenti bibliografici appropriati
> (non ho nemmeno cercato tanto, sto tentando una scorciatoia crowd).
> 
> Grazie.
> 
> 

-- 

Mauro Gasparini
Full Professor of Statistics
Dipartimento di Scienze Matematiche
Politecnico di Torino
Corso Duca degli Abruzzi 24 I-10129 Torino, Italy
tel: +39 011 090 7546
fax: +39 011 090 7599
email: gasparini a calvino.polito.it
www: http://calvino.polito.it/~gasparini/
ORCID: http://orcid.org/0000-0001-8011-4005