seminario presso il CNR-IMATI di Milano

[Alessandra Guglielmi <alessan@mi.imati.cnr.it>]

Il giorno 18 gennaio, alle h 14.30, si terra' presso il 
CNR-IMATI, sezione di Milano, Via Bassini, 15, Milano, in aula 
convegni (piano terra), il seminario

UN'APPROSSIMAZIONE DI POISSON PER GRAFI ALEATORI CON COLORI SCAMBIABILI

                          SANDRA FORTINI  
		  Istituto di Metodi Quantitativi 
	            Universita' Bocconi, Milano


Tutti gli interessati sono cordialmente invitati a partecipare.


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RIASSUNTO del SEMINARIO.  Lo studio sistematico dei grafi aleatori fu
iniziato da Erdos e Rényi in una serie di articoli pubblicati negli
anni '50 e '60.  Nella sua versione più semplice, un grafo aleatorio è
costruito a partire da un insieme finito di nodi, selezionando ognuno
degli n(n-1)/2 archi con probabilità p, indipendentemente dagli altri
archi.  Tale semplice modello non e' in grado di descrivere le reti
che tendono a presentare raggruppamenti di archi, situazione, questa,
che si osserva comunemente nei network reali, come osservato in
Newmann (2003).  Recentemente sono stati, perciò, introdotti diversi
modelli di grafi aleatori (Penman 1998; Biggins 2002; Biggins e Penman
2003; Cannings e Penman 2003; Soderberg 2003).  Una delle proposte più
interessanti consiste nei grafi aletaori colorati, ottenuti colorando
i nodi a caso ed in modo indipendente, secondo una legge prefissata, e
quindi congiungendo i nodi di uguale colore.  Una possibile
generalizzazione dei grafi aleatori colorati si ottiene a partire da
un grafo prefissato, colorando i nodi in modo scambiabile, anziché
indipendente, e cancellando gli archi che presentano colori differenti
agli estremi (Cerquetti e Fortini 2003).  Tale modello puo' essere
utilizzato, in ambito Bayesiano, per contare il numero di coicidenze
che si presentano in un network.  Consideriamo un network e supponiamo
che una certa caratteristica sia associata ad ogni nodo, in modo che i
nodi possano ritenersi omogenei rispetto a tale caratteristica.  Si
verifica una coincidenza quando una coppia di nodi, direttamente
collegati nel network, presentano la stessa modalità di tale
caratteristica.  In quest'ambito è possibile dimostrare, che, sotto
opportune ipotesi, la legge del numero di coincidenze è bene
approssiamta da una mistura di leggi di Poisson.  La dimostrazione si
basa sul teorema di rappresentazione di de Finetti e sul metodo di
approssiamzione di Chen-Stein (Chen 1975; Barbour et al.  1992; Janson
1986, 1987).

Bibliografia

Barbour, A.D., Holst, L., Janson, S.  (1992).  Poisson Approximations. Oxford.

Cannings, C., Penman, D.B.  (2003).  Models of random graphs and their
applications.  Handbook of Statistics 21.  Stochastic Processes: Modelling and 
Simulation.  Eds:  D.N.  Shanbhag, and C.R.  Rao. Elsevier (2003) 51-91.

Chen, L.H.Y. (1975). Possion approximations for dependent trials. Annals of
Probability, 3, 534-45.

Erdos, P., Rény, A. (1960). On the evolution of random graph. Publ. Math.
Inst. Humgar. Acad. Sci.  5, 17.  

Janson, S. (1986). Birthday problems, randomly coloured graphs and Poisson
limits of sums of dissociated variables. Uppsala University Department of 
Mathematics Report No. 198 6:16

Janson, S. (1987). Poisson convergence and Poisson processes with applications
to random graphs.  Stochastic processes and their Applications  26, 1-30.

Penman, D.B. (1998). Random graphs with correlation structure. Ph.D Thesis,
University of Sheffield.
-- 
Alessandra Guglielmi             e-mail: alessan@mi.imati.cnr.it
CNR-IMATI                        tel.  : ++39.02.23699529 
via Bassini, 15                  fax   : ++39.02.23699538 
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