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PROGRAMMA
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Parte propedeutica: la matematica come metodo e come strumento; richiami di teoria degli insiemi; operazioni tra insiemi; leggi di De Morgan; funzioni tra insiemi; funzioni iniettive, suriettive e biiettive; insiemi di numeri: naturali, interi, razionali e reali; richiami sull’algebra dei polinomi e sulle equazioni algebriche; le disequazioni; l’equazione cartesiana della retta e della circonferenza; grafici di fun¬zioni elementari e loro trasformazioni nel piano: la retta, la parabola e l’iperbole. Insiemi di numeri: struttura algebrica e struttura d'ordine di R; insiemi densi e completi; estremo superiore ed estremo inferiore; l'insieme R ampliato; intorni in R e in R ampliato; punti di accumulazione; teore¬ma di Bolzano-Weierstrass (s.d.); punti isolati interni esterni e di fron¬tiera; insiemi aperti e chiusi; non numerabilità di R; insiemi finiti ed infiniti; cenni sui numeri complessi; teorema fondamentale dell’algebra (s.d.). Funzioni elementari: funzioni reali di variabile reale; successioni; gra¬fico di una funzione; funzioni pari e dispari; funzioni limitate; funzio¬ni composte; funzione inversa; funzioni monotone; punti di massimo e di minimo; funzioni algebriche: grafico di funzioni polinomie di pri¬mo e di secondo grado; funzioni convesse e concave; funzioni poten¬za; funzioni esponenziali; equazioni e disequazioni esponenziali; fun¬zioni logaritmiche; equazioni e disequazioni logaritmiche; cenni alle funzioni trigonometriche; grafici di funzioni deducibili da quelli delle funzioni elementari. Limiti di funzioni e di successioni - funzioni continue: definizione di limite; limite destro e limite sinistro; teorema di unicità del limite; teo¬rema della permanenza del segno; limiti di funzioni monotone; teore¬ma del confronto; operazioni tra limiti; funzioni continue; calcolo di limiti; forme indeterminate; limiti notevoli (s.d.); discontinuità di pri¬ma e seconda specie; discontinuità eliminabile; teoremi sulle funzioni continue; teorema di Weierstrass (s.d.); teorema degli zeri (s.d.); teo¬rema di Darboux (s.d.); infinitesimi ed infiniti; principio di sostituzio¬ne degli infinitesimi e degli infiniti. Elementi di calcolo differenziale: definizione di derivata; derivata de¬stra e sinistra; significato geometrico; legami tra continuità e derivabi¬lità; derivate delle funzioni elementari; regole di derivazione (s.d.); derivata logaritmica; derivate di ordine superiore al primo; funzioni differenziabili; significato geometrico del differenziale; elasticità di una funzione; teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy; teoremi di De l’Hôpital (s.d.); formula di Taylor e di Mac Laurin con il resto di Pea¬no (s.d.); formula di Taylor con il resto di Lagrange (s.d.); applicazio¬ne al calcolo approssimato; funzioni crescenti e decrescenti; punti di massimo e di minimo; funzioni convesse e concave; punti di flesso; asintoti; studio di funzioni. Integrali: l'integrazione in R secondo Riemann; teorema di Riemann (s.d.); condizioni sufficienti per l’integrabilità (s.d.); proprietà dell'in¬tegrale definito; teorema del valor medio; primitive di una funzione; teorema fondamentale del calcolo integrale e conseguenze; l'integrale indefinito; cenni ai metodi di integrazione per decomposizione, per so¬stituzione e per parti. |
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