[Forum SIS] Analisi statistica dati COVID-19: carattere subesponenziale Agosto-Giudici
Paolo Giudici
paolo.giudici a unipv.it
Ven 13 Mar 2020 11:01:13 CET
Grazie Filippo, dei preziosi contributi! non entro nel dibattito su lista
si'/lista no. Avete capito come la penso. Sarebbe bello avere più opinioni .
Paolo Giudici
FinTech Laboratory
University of Pavia
https://www.linkedin.com/in/paolo-giudici-60028a/
Il giorno ven 13 mar 2020 alle ore 10:54 Filippo Palombi <
filippo.palombi a enea.it> ha scritto:
> Buongiorno,
>
> mi permetto di inserirmi nella discussione relativa allo spam sulla
> mailing list, producendone un po'.
>
> Stavo pensando stamane che è possibile caratterizzare meglio la natura
> subesponenziale del processo Agosto-Giudici per [image: $\alpha+\beta<1$].
> I calcoli seguenti andrebbero controllati per bene, ma l'idea è che
> l'intero processo sia maggiorabile con una quantità che può essere stimata.
> L'utilità del calcolo, come si vedrà, è limitata per fini pratici, tuttavia
> chiarisce un aspetto teorico del processo.
>
> A tale scopo mi serve richiamare
>
> 1. la disuguaglianza di Jensen, che per una funzione *concava* [image:
> $x\to\phi(x)$] si scrive
>
> (1) [image: $E[\phi(X)] \le \phi(E[X])$];
>
> 2. la funzione [image: $x\to x^{\alpha+\beta}$] è concava per [image:
> $\alpha+\beta<1$] e [image: $x>0$].
>
> Considero un processo di crescita caratterizzato dalla condizione
>
> (2) [image: $E[\lambda_t | \lambda_{t-1}] =
> C\lambda_{t-1}^{\alpha+\beta}$], dove [image: $\alpha+\beta<1$].
>
> Voglio stimare il valore atteso non-condizionato [image: $E[\lambda_t]$].
> Uso (spero correttamente stavolta) la tecnica della media iterata
>
> (3) [image: $E[\lambda_t] =
> E_{\lambda_{t-1}}[E[\lambda_t|\lambda_{t-1}]] =
> CE_{\lambda_{t-1}}[\lambda_{t-1}^{\alpha+\beta}|\lambda_{t-1}] \le
> C\bigl(E[\lambda_{t-1}])^{\alpha+\beta}$]
>
> Itero esplicitamente una sola volta,
>
> (4) [image: $=
> C\left(E_{\lambda_{t-2}}[E[\lambda_{t-1}|\lambda_{t-2}]\right)^{\alpha+\beta}
> =
> C^{1+(\alpha+\beta)}\left(E[\lambda_{t-2}^{\alpha+\beta}]\right)^{\alpha+\beta}\le
> C^{1+(\alpha+\beta)}\left(E[\lambda_{t-2}]\right)^{(\alpha+\beta)^2}$];
>
> quindi induco
>
> (5) [image: $E[\lambda_t]\le
> C^{\sum_{k=0}^{t-1}(\alpha+\beta)^k}E[\lambda_0] =
> C^{\sum_{k=0}^{t-1}(\alpha+\beta)^k} $]
>
> assumendo [image: $\lambda_0=1$]. La somma ad esponente è una somma
> geometrica (di ragione [image: $<1$]), dunque
>
> (6) [image: $\sum_{k=0}^{t-1}(\alpha+\beta)^k =
> \frac{1-(\alpha+\beta)^{t}}{1-(\alpha+\beta)}$].
>
> Concludo che
>
> (7) [image: $\lim_{t\to\infty}E[\lambda_t] \le
> C^{1/[1-(\alpha+\beta)]} \equiv K$].
>
> Ovviamente, più [image: $\alpha+\beta$] è prossimo ad 1, più la costante
> di maggiorazione sarà divergente, ancorché finita... Questo è chiaramente
> diverso rispetto ad un processo esponenziale crescente, per il quale
>
> (8) [image: $\lim_{t\to\infty}E[\lambda_t] = \infty$].
>
> Faccio solo qualche esempio. Per [image: $C=1.5$], si ha
>
> [image: $(\alpha+\beta)=0.9$] [image: $K=1.024$],
>
> [image: $(\alpha+\beta)=0.95$] [image: $K\sim 10^6$],
>
> [image: $(\alpha+\beta)=0.99$] [image: $K \sim 10^{30}$].
>
> Fine.
>
> Metto le mani avanti, è un calcolo fatto di fretta... Spero di non aver
> preso cantonate macroscopiche (in tal caso mi prenderò di buon grado le vs.
> bastonate)... Forse qualcuno con buona volonta' e tempo da perdere potrebbe
> controllare.
>
> In ogni caso, cordiali saluti.
>
> f. p.
>
> PS: metto in allegato una versione pdf.
>
> --
>
> Filippo Palombi, PhD
>
> ENEA - Italian Agency for New Technologies,
> Energy and Sustainable Economic Development
>
> Via E. Fermi 45
> 00044 Frascati - Italy
>
> _______________________________________________
> Sis mailing list
> Sis a stat.unipg.it
> http://www.stat.unipg.it/mailman/listinfo/sis
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