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#                                                     #
#        LABORATORIO DI METODI STATISTICI             #
#                PER LA FINANZA                      #
#               PROF F. BARTOLUCCI                    #
#                                                     #
#                    LAB-03                           #
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# Lezione 3: TEST DI IPOTESI                                   
##########################################################################1
#                                                                           
#   Indice:                                                                 
#                                                                     
#   * importare i dati
#   * test di ipotesi sulla media di una popolazione
#	  * test di ipotesi per il confronto tra le medie di due popolazioni                                      
#   * test di ipotesi per la varianza di una popolazione
#   * test di ipotesi per il confronto tra le varianze di due popolazioni
#
##########################################################################




# ---------------------------------------------------
# TEST SU UNA SINGOLA MEDIA
# ---------------------------------------------------

# Caricare dati dall'esterno
# Il file voti.txt contiene gli esiti di una recente sessione di esame
help(read.table)
dati = read.table("voti.txt", header = TRUE)
head(dati)
voti = dati$voti

# prime analisi sulla variabile VOTI
mean(voti)
var(voti)


# 1) Verificare l'ipotesi che la media dei voti sia 20 contro ipotesi che sia minore
# (assumendo varianza pari a 50, alpha = 0.05)

# Ampiezza campionaria
n = length(voti)

# Media campionaria
xm = mean(voti)
# Costruiamo la statistica test
z = (xm-20)/sqrt(50/n)
# Calcoliamo il quantile  (ipotesi alternativa unidirezionale)
zal = - qnorm(1 - 0.05)

# Risultato del test
# 1) Regione di rifiuto
z
zal
z < zal

# 2) P-value
pv = pnorm(z)
pv
pv < 0.05

# Conclusione: R H0


# 2) Verificare l'ipotesi che la media dei voti sia 20 contro ipotesi sia minore
# (con varianza non nota, alpha = 0.05)

# Varianza campionaria
s2 = var(voti)

# Calcoliamo la statistica test
t = (xm-20)/sqrt(s2/n)

# Calcoliamo il quantile (ipotesi alternativa unidirezionale)
# Quanti gdl? 
gdl = n-1
tal = -qt(1 - 0.05, gdl)

# Risultato del test
# 1) regione di rifiuto
t
tal
t < tal

# 2) P-value
pv = pt(t, gdl)
pv
pv < 0.05
# Conclusione: R H0


# ----------------------------------------------------
# Funzione t.test di R
# ----------------------------------------------------
help(t.test)

t.test(voti, alternative="less", mu=20)




# ----------------------------------------------------
# Test su due medie
# ----------------------------------------------------

# 1) Verificare l'ipotesi che la media dei voti sia uguale tra maschi (M)
# e femmine (F) contro ipotesi sia diversa
# (assumendo varianza nota e pari a 50 per M e 40 per F, alpha = 0.05)

# Selezioniamo i sottocampioni
voti1 = dati$voti[dati$sesso=="M"]
voti2 = dati$voti[dati$sesso=="F"]

# Calcoliamo le ampiezze campionarie
n1 = length(voti1)
n2 = length(voti2)

# Calcoliamo le media campionarie
xm = mean(voti1)
ym = mean(voti2)

# Calcoliamo il valore della statistica test
numeratore = (xm-ym)
denominatore2 = (50/n1) + (40/n2)
z = numeratore / sqrt(denominatore2)

# o pił velocemente
z = (xm-ym) / sqrt((50/n1) + (40/n2))

# Calcoliamo il quantile (ipotesi alternativa bidirezionale)
zal = qnorm(1 - 0.05/2)

# Risultato del test: 
# 1) Regione di rifiuto
z
zal
abs(z) > zal

# 2) P-value
pv = 2 * (1 - pnorm(abs(z)))
pv
pv < 0.05

# Conclusione: non R H0


# Verifichiamo l'ipotesi che la media dei voti sia uguale tra maschi (M)
# e femmine (F) contro l'ipotesi che sia diversa
# (con varianze non note ma uguali, alpha = 0.05)

# Calcoliamo le varianze campionarie
s21 = var(voti1)
s22 = var(voti2)

# Calcoliamo la varianza pooled
s2p = ((n1-1)*s21 + (n2-1)*s22)/ (n1+n2-2)

# Costruiamo la statistica test
t = (xm-ym) / sqrt(s2p * (1/n1 + 1/n2))
                   
# Calcoliamo il quantile
gdl = n1 + n2 -2
tal = qt(1-0.05/2, gdl)

# Risultato del test
# 1) Regione di rifiuto
t
tal
abs(t) > tal
# 2) P value
pv = 2 * (1 - pt(abs(t), gdl))
pv < 0.05

# Conclusione: non R H0


# Ripetiamo il test utilizzando funzione t.test di R
t.test(voti1, voti2, mu = 0, alternative="two.sided", var.equal=TRUE)




# ----------------------------------------------------
# Test su una singola varianza
# ----------------------------------------------------

# 1)  Verificare l'ipotesi che la varianza dei voti sia 50
# contro ipotesi sia minore (alpha = 0.05)


# Calcoliamo l'ampiezza campionaria
n = length(voti)

# Calcoliamo la varianza campionaria
s2 = var(voti)

# Calcoliamo la statistica test
# V  = (n-1)s^2/sigma0
v = (n-1) * s2 / 50

# Calcoliamo il quantile
val = qchisq(0.05,n-1)

# Risultato del test
# 1) Regione di rifiuto
v
val
v < val
# 2) P-value
pv = 1-pchisq(v,n-1)
pv
pv<0.05

# Conclusione: non R H0


# ---------------------------------------------------
# Test su due varianze
# ---------------------------------------------------

# 1) Verificare l'ipotesi che la varianza dei voti sia uguale
# tra maschi (M) e femmine (F) contro ipotesi sia diversa (alpha = 0.05)
# Selezionare i sottocampioni


voti1 = dati$voti[dati$sesso=="M"]
voti2 = dati$voti[dati$sesso=="F"]

# Calcoliamo le ampiezze campionarie
n1 = length(voti1)
n2 = length(voti2)

# Calcoliamo le varianze campionarie
s21 = var(voti1)
s22 = var(voti2)

# Cacloliamo la statistica test
f = s21 / s22

# Calcoliamo il quantile
gdl1 = n1-1
gdl2 = n2-1

# Calcoliamo i quantili
fUpal = qf(1 - 0.05/2, gdl1, gdl2)
fLowal = qf(0.05 /2, gdl1, gdl2)

# Risultato del test
f
fLowal
fUpal
f < fLowal | f > fUpal
# Conclusione: non R H0

# Ripetiamo il test utilizzando funzione var.test di R
help(var.test)
var.test(voti1, voti2, alternative="two.sided")